直角坐标

其中D由y=x，x=1，x轴围成。

下面灰色部分为D

通过计算发现，先对x求积分会面临求sinx/x对于x的积分，这是一个不可积函数，而对y先求积分则可以求出答案，这就引出问题：先对哪个进行积分，以及发现先对x积分无法求值后能否转变成先对y积分。这就引出了交换积分次序的概念。

交换积分次序

换元法

极坐标：

例：

其中D由x²+y²=1,x+y>=1围成。

下图中斜线部分为D

此时用一般方法做很麻烦，尝试极坐标：令x=rcosθ，y=rsinθ，因此r²=1,原式等于：

上式中红圈中的r是关键，不能漏掉。

通过计算得结果为2-π/2。

对于一些不会画的函数图像，极坐标也非常好用

例：

D由x²+y²-xy=1，x²+y²-xy=2，y=√3 x，y=0围成。

对于x²+y²-xy=1，x²+y-xy=2，如果太长时间没有接触椭圆的只是可能不会画它们的图像，它们的图像如下图，但是极坐标不需要你精确地画出它们的图像，只需要知道积分的上下限，而这题中对r积分时下限就是x²+y²-xy=1对应的

函数的奇偶性

例：

其中D由x+y=1，x-y=1，x=0所围成，函数图像如下：

由于D是关于x轴对称的，sin³y是奇函数，那么结果就等于0。

利用变量的轮换对称性计算

例：

法一（利用变量的轮换对称性）：

∵D关于y=x对称

$$\therefore {\iint }_D(1+x-y)dxdy\mathbf{①}={\iint }_D(1+y-x)dxdy\mathbf{②}$$

$$\mathbf{①}+\mathbf{②}={\iint }_{D}2dxdy$$

$$\therefore \mathbf{原式}={\iint }_{D}1dxdy$$

由于D的整体积分不好算，所以画x=1将其分成两部分

$$\mathbf{原式}={\int }_{\frac{1}{3}}^{1}dx{\int }_{\frac{1}{3x}}^{3x}dy+{\int }_1^{3}dx{\int }_{\frac{x}{3}}^{\frac{3}{x}}dy=\frac{8}{3}{\ln }^3$$

法二（换元法）

∵D关于y=x对称
由于D的整体积分不好算，这里画x=1将其分成两部分