定积分不等式

这个不等式的原理其实是｜a+b｜<=|a|+|b|。

这个不等式被称为积分的绝对值不等式或者称为三角不等式。它的含义是:函数f(x)在区间[a,b]上的积分的绝对值总是小于或等于函数|f(x)在同一区间上的积分。
这个不等式可以通过考虑f(x)的正部分和负部分进行证明。具体来说，我们可以将f(x)分解为两个非负函数，一个是f(x)的正部分，另一个是f(x)的负部分。然后，我们可以分别对这两个函数进行积分，得到的结果就是原来的积分的绝对值和绝对值的积分。

这个不等式可以通过考虑f(x)的正部分和负部分进行证明。具体来说，我们可以将f(x)分解为两个非负函数，一个是f(x)的正部分，另一个是f(x)的负部分。然后，我们可以分别对这两个函数进行积分，得到的结果就是原来的积分的绝对值和绝对值的积分。
积分的绝对值不等式或者称为三角不等式。这是一个基本的数学定理，适用于所有的实值函数和所有的实数区间。

几个函数的积分特殊情况

上面三个积分结果非初等函数，所以无法积分，一般出在二重积分中，采用变换积分次序的方法来进行计算。

连续，可积，存在原函数之间的关系

可积与存在原函数是两个概念。因为平时做的积分计算题中函数大多都是既可积又存在原函数，所以导致对于这两个概念混为一谈。个人理解：区间的问题。

可积的必要性：函数f在[a，b]有界，则函数在[a,b]上必定有界；

可积的充分性：1)函数在[a,b]区间上连续，则在该区间上可积；2)若f在区间[a,b]上有有限个间断点的有界，则函数可积。3)若f在区间[a,b]上单调，则在该区间可积。4)如果f（x）在【a,b】上的定积分存在，我们就说f（x）在【a,b】上可积。

存在原函数的必要性：函数在给定区间内连续；

存在原函数的充分性：若函数在[a,b]上连续，则函数必存在原函数。

判断函数又原函数的方法：

1)如果f(x)连续，则一定存在原函数。

2)如果f(x)不连续，有第一类可去、跳跃间断点或第二类无穷间断点，那么包含此间断点的区间内，一定不存在原函数。

3)如果f(x)不连续，有第二类振荡间断点，那么包含此间断点的区间内，原函数可能存在，也可能不存在。

可积推不出存在原函数，反例:sgn函数（在x<0时，等于-1；在x=0时，等于0；在x<0时，等于1）在这边我们让x属于（-1，1），因为sgn函数有界，而且只有一个间断点，所以它在（-1，1）上可积，但是这个唯一的间断点为第一类间断点，所以sgn函数在（-1，1）上无原函数。

存在原函数推不出可积，反例：

f‘x在[0,1]内有原函数，但是fx在x=0处间断，函数无界，所以函数不可积。

可积无法推出连续，上面的sgn函数就是例子。

存在原函数无法推出连续，一些分段函数就是例子。\