常数项级数

一：用部分和来看敛散性：Sn=？

注（几种对解题有帮助的（不）等式）：

$$①l{n}^{1+n}<1+...+\frac{1}{n}<1+l{n}^n$$

$$②\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+...+\frac{1}{n})=+\mathrm{\infty }$$

$$③x-\frac{1}{2}{x}^2<l{n}^{1+x}<+\infty$$

$$④基本不等式：a^2+b+\ge 2ab$$

等比级数，p级数的敛散性判断：

$$\sum _{n=1}^{\infty }a{q}^{n-1}=\{\begin{array}{cc}收敛（\frac{a}{1-q}）,|q|<1& \\ 发散，|q|\ge 1& \end{array}$$

二：级数敛散的必要条件：

$$若\sum _{n=1}^{\infty }un收敛，则\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}un=0.（若\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}un\ne 0或\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}un不存在，则\sum _{n=1}^{\infty }un发散）$$

$$也就是说，要使得\sum _{n=1}^{\infty }un收敛，\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}un一定要等于0，反过来要是\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}un=0，无法推出\sum _{n=1}^{\infty }un收敛.$$

三：性质（多出现在选择，填空）

1.

$$若\sum _{n=1}^{\infty }Un，\sum _{n=1}^{\infty }Vn都收敛$$

$$则①\sum _{n=1}^{\infty }（Un\pm Vn），\sum _{n=1}^{\infty }kUn都收敛$$

$$②当且仅当\sum _{n=1}^{\infty }（Un\pm Vn）收敛时，\sum _{n=1}^{\infty }（Un\pm Vn）=\sum _{n=1}^{\infty }Un+\sum _{n=1}^{\infty }Vn$$

$$\sum _{n=1}^{\infty }kUn=k\sum _{n=1}^{\infty }Un（只有在收敛时才成立，此时k随便取，若k=0时可以是发散的）$$

2.

$$k\ne 0时，\sum _{n=1}^{\infty }kUn与\sum _{n=1}^{\infty }Un敛散性相同。（发散时要求k\ne 0,收敛时不需要）$$

3.

$$\sum _{n=1}^{\infty }Un$$	$$\sum _{n=1}^{\infty }Vn$$	$$\sum _{n=1}^{\infty }\mathrm{(U}n+V\mathrm{n)}$$
收敛	收敛	收敛
收敛	发散	发散
发散	发散	不确定

4.级数去掉或者增加有限项，敛散性不变。

$$若\sum _{n=1}^{\infty }Un发散，则\sum _{n=1}^{\infty }Un+1000发散，若\sum _{n=1}^{\infty }Un发散，则\sum _{n=1}^{\infty }（Un+1000）收敛。$$

5.

正项级数的敛散性

一：正项级数定义

1.定义：

$$un\ge 0，称\sum _{n=1}^{\infty }un为正项级数。$$
(有限项为负，也为正项级数，甚至全是负的，提个负号就是正项级数了；1000项为正数，其余为负数，也为正项级数)

2.判定方法：

$$若un\ge 0，\sum _{n=1}^{\infty }收敛⟺\mathrm{\exists }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}Sn=S⟺0\le Sn\le M(隐含：Sn递增)$$ $$例：\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}\{\begin{array}{c}①p=1,\text{发散，} \\ ②p>1,\text{收敛（正项级数部分和有界⟹收敛），}\\ ③p<1,\text{发散，} \end{array}$$

比较判别法（在题目中通常需要找一个常见的或者已知敛散性的级数来与被求级数比较）：

$$若0\le Un\le Vn（n\ge N），$$ $$（1）\sum _{n=1}^{\infty }Vn收敛⟹\sum _{n=1}^{\infty }Un收敛（2）\sum _{n=1}^{\infty }Un发散⟹\sum _{n=1}^{\infty }Vn发散$$

速记：小收则大收，大发则小发

比较极限判别法

$$设\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{Un}{Vn}=l（0<l<+\mathrm{\infty }）$$ $$①若0<l<+\infty ,则\sum _{n=1}^{\infty }Un与\sum _{n=1}^{\infty }Vn同敛散。$$ $$②若l=0，则\sum _{n=1}^{+\infty }Vn收敛⟹\sum _{n=1}^{+\infty }Un收敛，\sum _{n=1}^{+\infty }Un发散⟹\sum _{n=1}^{+\infty }Vn发散。$$ $$③若l=+\infty ，则\sum _{n=1}^{+\infty }Vn发散⟹\sum _{n=1}^{+\infty }Un发散，\sum _{n=1}^{+\infty }Un收敛⟹\sum _{n=1}^{+\infty }Vn收敛。$$

比值法

$$若\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{U_{n+1}}{Un}=\rho ,则\sum _{n=1}^{+\infty }Un=\{\begin{array}{c}收敛，\rho <1,\\ 发散,\rho >1\\ 不确定,\rho =1\end{array}$$

根值法

$$若\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{Un}=\rho ,则\sum _{n=1}^{+\infty }Un=\{\begin{array}{c}收敛，\rho <1,\\ 发散,\rho >1\\ 不确定,\rho =1\end{array}$$

积分判别法

$$设f（x）是[1,+\infty ]上单调递减、非负的的连续函数，且a_n=f（n），则\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n与{\int }_1^{+\infty }f（x）dx同敛散。$$

交错级数的敛散性

$$交错级数：\sum _{n=1}^{+\infty }（-1{）}^{n-1}Un，Un>0$$

$$莱布尼茨准则：若Un单调减且\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}Un=0，则\sum _{n=1}^{+\infty }（-1{）}^{n-1}Un收敛。$$

$$Un单调减，\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}Un=0是级数\sum _{n=1}^{+\infty }（-1{）}^{n-1}Un收敛的充分条件，而非必要条件。$$

$$如：\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{（-1{）}^{n-1}}{2^{n+(-1{)}^n}}收敛，但Un=\frac{1}{2^{n+(-1{)}^n}}并不递减。$$

任意级数

绝对收敛和条件收敛概念：

$$①若级数\sum _{n=1}^{+\infty }|Un|收敛，则\sum _{n=1}^{+\infty }Un必收敛，此时称级数\sum _{n=1}^{+\infty }Un绝对收敛。$$

$$②若级数\sum _{n=1}^{+\infty }Un收敛，但\sum _{n=1}^{+\infty }|Un|发散，此时称级数\sum _{n=1}^{+\infty }Un条件收敛。$$

绝对收敛和条件收敛的基本结论：

$$①绝对收敛的级数一定收敛，即\sum _{n=1}^{+\infty }|Un|收敛⟹\sum _{n=1}^{+\infty }Un收敛。$$

$$②条件收敛的级数的所有正项（或负项）构成的级数一定发散。$$

$$即：\sum _{n=1}^{+\infty }Un条件收敛⟹\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{Un+|Un|}{2}和\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{Un-|Un|}{2}发散。$$

幂级数

定义：

$$\sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n{x}^n=a_0+a_1{x}^1+...+a_n{x}^n+...$$

幂级数收敛情况有三种：

$$①处处绝对收敛，\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{x^n}{n!}=e^x。$$

$$②在一点处收敛，如\sum _{n=1}^{+\infty }n！x^n。$$

$$③在一个区间内收敛，若以一点x=0为中心，两边对称的区间内敛散，如\sum _{n=1}^{+\infty }{x}^n,收敛域为（-1，1）。$$

收敛点与收敛半径

$$如\sum _{n=1}^{+\infty }Un（x_0）收敛，则称x_0是\sum _{n=1}^{+\infty }Un的收敛点（发散点一样）。$$

$$收敛半径的计算：设正项级数系数比\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{|a_{n+1}|}{a_n}=\rho (0<\rho <+\infty )$$ $$\{\begin{array}{c}①若0<\rho <+\infty ，R=\frac{1}{\rho }，\\ ②若\rho =0,则R=+\infty ，处处收敛，\\ ③若\rho =+\infty ，则R=0，仅在x=0处收敛。\end{array}$$
$$收敛区间为（R，-R），收敛域先看x=R，x=-R处原级数是否收敛，有一项收敛则将该点处改为闭区间。$$

函数展开成幂级数

例1：

$$\begin{array}{c}①将f(x)=\frac{1}{(x-2{)}^2}展开成x的函数。\\ f(x)=\frac{1}{(x-2{)}^2}=-(\frac{1}{x-2}{)}^{\prime }=\sum _{n=0}^{\infty }(\frac{x^n}{2^{n+1}}{)}^{\prime }=\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{n{x}^{n-1}}{2^{n+1}}{)}^{\prime }\end{array}$$ $$\begin{array}{c}②将f(x)=\frac{1}{(x-2{)}^2}展开成x-4的函数。\\ f(x)=\frac{1}{(x-2{)}^2}=-(\frac{1}{x-2}{)}^{\prime }\\ =-\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty }(-\frac{1}{2}{)}^{n}n(x-4{)}^{n-1}\\ =\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}(\frac{1}{2^{n+1}})n(x-4{)}^{n-1}\end{array}$$

例2：

$$\begin{array}{c}已知f(x)=\frac{x+4}{x^2-x-6},将f(x)展开成x的幂级数。\\ f(x)=\frac{7}{5}\frac{1}{x-3}-\frac{2}{5}\frac{1}{x+2}\\ =\frac{7}{5}(-\frac{1}{3})\frac{1}{1-\frac{x}{3}}-\frac{2}{5}(\frac{1}{2})\frac{1}{1+\frac{x}{2}}\\ =-\frac{7}{15}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{3^n}+\frac{1}{5}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{2^n}\end{array}(注意最后不要合并）$$

例3：

$$\begin{array}{c}已知f(x)=x{2}^x,将f(x)展开成x-3的幂级数。\\ f(x)=(3+x-3)2^{3+x-3}\\ =8(3+x-3)e^{l{n}^{2^{x-3}}})\\ =8(3+x-3)e^{(x-3)l{n}^2})\\ =24\sum _{n=0}^{\infty }\frac{l{n}^{n}2}{n!}(x-3{)}^n+8\sum _{n=0}^{\infty }\frac{l{n}^{n}2}{n!}(x-3{)}^{n+1}\\ =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{24l{n}^{n}2}{n!}(x-3{)}^n+\sum _{n=0}^{\infty }\frac{8l{n}^{n}2}{n!}(x-3{)}^{n+1}\end{array}(注意最后化简）$$

例4：

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}已知f(x)=\frac{x-1}{x^2+3},求{f^n}_{(0)}.\\ f(x)=\frac{x}{x^2+3}-\frac{1}{x^2+3}=x\ast \frac{1}{3(1+\frac{x^2}{3})}-\frac{1}{3(1+\frac{x^2}{3})}\\ =\frac{x}{3}\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{3^n}-\frac{1}{3}\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{3^n}\\ =\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{3^{n+1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{x^{2n}}{3^{n+1}}\\ an=\{\begin{array}{c}{a}_{2n}=(-1{)}^{n+1}\frac{1}{3^{n+1}} \\ {a}_{2n+1}=(-1{)}^n\frac{1}{3^{n+1}}\end{array}\\ \because a_n=\frac{{f^n}_{(0)}}{n!}\therefore {f^n}_{(0)}=n!a_n\\ \therefore \{\begin{array}{c}f(2n)=(-1{)}^{n+1}2n!\frac{1}{3^{n+1}}\\ f(2n+1)=(-1{)}^n(2n+1)!\frac{1}{3^{n+1}}\end{array}\end{array} \end{gathered}$$